Vaffa il Gurū, va… Parte terza

Parte terza

Molto probabilmente fu proprio l’interesse che Pitagora nutriva per i numeri figurati, e questo tipo di approccio, che lo portò a scoprire una formula generatrice delle terne pitagoriche formate da numeri interi.

Pitagora immaginava i numeri come figure; ad esempio, immaginava i numeri quadrati con punti sistemati a formare un quadrato e così via.

Il numero quadrato n2 veniva così rappresentato da punti disposti in n righe n colonne.

Per ottenere il numero quadrato successivo (n + 1)2 bisognava così aggiungere il successivo numero dispari (2n + 1), dai pitagorici chiamato gnomone (γνώμων):

1 riga di n punti in alto, 1 colonna di n punti a lato e 1 singolo punto a completamento (2n + 1).

A partire da Filolao, discepolo di Pitagora, i numeri dispari (2n + 1) furono chiamati numeri gnomonici per questo motivo.

Così il quadrato di (n + 1) si ottiene dal quadrato di n con l’aggiunta di (2n + 1), che in formula si scrive:

n2+ (2n + 1) = (n + 1)2

In generale, la rappresentazione dei numeri figurati si ottiene tramite insiemi di punti ordinati secondo schemi precisi, che li riconducono ad alcune figure geometriche ben note, quali triangoli, quadrati, poligoni, teraedri, cubi e così via. [1]

Ad esempio, gli schemi di punti disposti a triangolo sono detti numeri triangolari:

Rappresentazione dei primi 4 numeri triangolari[2]

Dalla figura è immediato dedurre che l’ennesimo numero triangolare Tn è la somma dei primi n numeri naturali, ciòè equivalente alla nostra formula seguente:

Formula per i numeri triangolari[3]

    

Mentre, sono detti numeri quadrati gli schemi di punti disposti a quadrato:

Rappresentazione dei primi 4 numeri quadrati

Da cui si deduce che ogni quadrato si può ottenere come somma di 2 numeri triangolari consecutivi, come mostra la figura seguente, in cui è evidente la proprietà suddetta:

Rappresentazione dei numeri quadrati come somma di 2 numeri triangolari consecutivi 

ciò che è equivalente (ma in modo molto più evidente) alla nostra formula:

n2= Tn+ T(n – 1)

e, dopo opportune manipolazioni, conduce alla formula generale:

Formula generale per i numeri quadrati

A seguire, e con lo stesso approccio, si possono rappresentare i numeri pentagonali, come punti disposti a formare i lati di pentagoni via via più grandi, ciascuno con un vertice e i punti adiacenti a quel vertice in comune col precedente, come mostrato nella figura seguente:

Rappresentazione dei primi 4 numeri pentagonali

Ogni numero pentagonale si può ottenere come somma di 3 numeri triangolari:

Pn= Tn+ 2T(n – 1)

Ma si può ottenere anche come somma del corrispondente numero quadrato e del numero triangolare precedente di ordine immediatamente inferiore:

Pn= n2+ T(n – 1)

che, dopo opportune manipolazioni, porta alla formula generale:

Formula generale per i numeri pentagonali

Proseguendo con lo stesso schema, si possono rappresentare tutti i numeri poligonali, come punti disposti a formare i lati di poligoni regolari via via più grandi, ciascuno con due lati in comune col precedente, come mostrato di seguito, ad esempio, per i numeri eptagonali:

Rappresentazione dei primi 4 numeri eptagonali

Se s è il numero di lati di un poligono, la formula per l’n-esimo numero s-gonale si ottiene aggiungendo al precedente numero s-gonale (s-2) lati lunghi n, per un totale di (s-2)(n-1)+1 punti, ovvero

Ps(n)=Ps(n-1)+(s-2)(n-1)+1

Si può dimostrare che ciò equivale alla formula generale poi trovata da Diofanto in puro spirito pitagorico e che, con il formalismo odierno, potrebbe essere scritta nel modo seguente:

Formula generale per i numeri poligonali

Analogamente a quanto visto sul piano, avventurandosi nella terza dimensione, si possono rappresentare i numeri tetraedrici, come punti disposti a formare un tetraedro, cioè una piramide a base triangolare:

Rappresentazione dei primi 3 numeri tetraedrici

Una formula generale, capace di esprimere l’ennesimo numero tetraedrico come somma dei primi n numeri triangolari, era nota al matematico indiano Āryabhaţa (Kusumapara, India (476 – 550 EV) e, con il nostro simbolismo, si può esprimere nel modo seguente:

dove Tetrn è l’ennesimo numero tetraedrico.
Ma anche numeri ottaedrici, numeri piramidali e così via, fino ai numeri cubici:

Rappresentazione dei primi 3 numeri cubici

Ogni cubo potendosi esprimere come differenza dei quadrati di due numeri triangolari consecutivi:

n3= T2n– T2(n – 1)

ed anche come somma di 6 numeri tetraedrici:

n3= Tetrn+ 4Tetr(n – 1)+ Tetr(n – 2)

Molto interessante è quindi il teorema di Nicomaco[4]per cui la somma dei cubi dei primi n numeri interi è uguale al quadrato dell’n-esimo numero triangolare:

13+ 23+ 33+ … + n3= (1 + 2 + 3 + … + n)2

Relazione che si può scrivere in maniera più compatta attraverso sommatorie:

Il lettore μαθηματικός[5]avrà ormai ben chiaro lo schema e potrà proseguire per suo conto la rassegna dei numeri figurati, giungendo fino alla perfezione dei 5 poliedri regolari, noti come solidi platonici.
Mentre il lettore ἀκoυσματικός sarà rimasto quanto meno affascinato dall’acume e profondità del maestro.

Per concludere, ci sarebbe da dire di numeri amici (o amicabili) e numeri perfetti, che saranno però il primo argomento della prossima puntata.

Vaffa il gurū, va… e tre (τρεῖς)


[1]Sui numeri figurati (e non solo), cfr. J.H. Conway e R.K. Guy, The book of numbers (Springer-Verlag, 1996).
[2]Le immagini dei numeri figurati sono tratte dal sito http://www.bitman.name di Mauro Fiorentini.
[3]Tale espressione è oggi nota come «formula di Gauss».
[4]Nicomaco di Gerasa (60 – 120 EV), matematico greco di età ellenistica. 
[5]Per una definizione di μαθηματικός e ἀκoυσματικός e dei livelli di apprendimento, leggi la seconda parte.

Continua…

Sotto l’eteronimo di Gyro Gearloose si cela un uomo rustico, a volte ruvido, fervido praticante di un libero pensiero, che sconfina in direzioni ostinatamente contrarie all’opinione comune.
Afflitto fin dalla nascita da una forma inguaribile di pensiero debole, simile all’agnosìa, prova a curarla con l’applicazione assidua di scienze dure.
E’ cultore di matematiche che, non capendo appieno, si limita ad amare da dilettante appassionato, sebbene poco ricambiato.
Si consola perlustrando sentieri poco battuti, per campagne e colline dove, tra le rovine del passato, resistono ancora bene l’ulivo e la vite.


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